Question

已知函數(shù)f（x）=4

3

sinxcosx-5sin²x-cos²x+3．
（Ⅰ）當x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足

b

a

=

3

，

sin(2A+C)

sinA

=2+2cos（A+C），求f（B）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（I）利用平方關(guān)系、倍角公式、兩角和差的正弦公式及其單調(diào)性即可得出；
（II）利用兩角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4

3

sinxcosx-5sin²x-cos²x+3=2

3

sin2x-

5-5cos2x+1+cos2x

2

+3=2

3

sin2x+2cos2x=4sin（2x+

π

6

）．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴f（x）∈[-2，4]．
（Ⅱ）由條件得 sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化簡得 sinC=2sinA，
由正弦定理得：c=2a，
又b=

3

a，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=3a2+4a2-4

3

a2cosA，解得：cosA=

3

2

，
故解得：A=

π

6

，B=

π

3

，C=

π

2

，
∴f（B）=f（

π

3

）=4sin

5π

6

=2．

點評：本題考查了平方關(guān)系、倍角公式、兩角和差的正弦公式及其單調(diào)性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．