Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=ln$\frac{{\sum_{i=1}^{n-1}{{i^x}+{n^x}a}}}{n}$，其中a∈R，對(duì)于任意的正整數(shù)n（n≥2），如果不等式f（x）＞（x-1）lnn在區(qū)間[1，+∞）上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a＞$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將原不等式等價(jià)變形為：（1-a）n^x＜1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x，再變量分離得到1-a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（ $\frac{2}{n}$）^x+（$\frac{3}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x，原不等式在區(qū)間[1，+∞）上有解，即1-a小于右邊的最大值．根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到右邊的最大值，最后結(jié)合n≥2即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：不等式f（x）＞（x-1）lnn，即
ln$\frac{{1}^{x}+{2}^{x}+…+（n-1）^{x}+{n}^{x}a}{n}$＞lnn^x-1，
∵對(duì)數(shù)的底e＞1，
∴原不等式可化為1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x+n^xa＞n^x，
移項(xiàng)得（1-a）n^x＜1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x，
因?yàn)閚是正整數(shù)，所以兩邊都除以n^x，得：
1-a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（ $\frac{2}{n}$）^x+（$\frac{3}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x，…（*）
不等式f（x）＞（x-1）lnn在區(qū)間[1，+∞）上有解，
即（*）式的右邊的最大值大于1-a，
∵g（x）=（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+（$\frac{3}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x 在[1，+∞）上是一個(gè)減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）的最大值為$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{3}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$•$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{n-1}{2}$，
因此1-a＜$\frac{n-1}{2}$，
得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞1-$\frac{n-1}{2}$，結(jié)合n≥2得a＞$\frac{1}{2}$，
故答案為：{a|a＞$\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題給出對(duì)數(shù)型函數(shù)，求一個(gè)不等式在區(qū)間上有解的參數(shù)a的取值范圍，著重考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的掌握，屬于中檔題．