Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：PB⊥AD；
（Ⅱ）若PB=$\sqrt{6}$，求點C到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中點O，連接OP，OB，證明AD⊥平面OPB，即可證明PB⊥AD；
（Ⅱ）證明OP⊥平面CBD，利用等體積求點C到平面PBD的距離．

解答 （Ⅰ）證明：取AD的中點O，連接OP，OB，則
∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA，∠BAD=60°，
∴OP⊥AD，OB⊥AD，
∵OP∩OB=O，
∴AD⊥平面OPB，
∵PB?平面OPB，
∴PB⊥AD；
（Ⅱ）解：∵PA=PD=DA=2，
∴OP=OB=$\sqrt{3}$，
∵PB=$\sqrt{6}$，
∴OP²+OB²=PB²，
∴OP⊥OB，
∵OP⊥AD，AD∩OB=O，
∴OP⊥平面CBD，
△PBD中，PD=BD=2，PB=$\sqrt{6}$，∴S_△PBD=$\frac{1}{2}•\sqrt{6}•\sqrt{4-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
設點C到平面PBD的距離為h，則$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{15}}{2}h$=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•4•\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查點到平面距離的計算，考查體積的計算，屬于中檔題．