【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，通項(xiàng)滿足（是常數(shù)， 且）.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)， ，是否存在正整數(shù)，使對(duì)都成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）；（2）見解析；（3）對(duì)都成立的正整數(shù)存在，其值為1,2,3.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義以及通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，再證結(jié)論（3）先根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再利用裂項(xiàng)相消法求和： ，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性確定最小值為2，即得，所以的值為1,2,3

試題解析：（Ⅰ）由題意，得 所以

當(dāng)時(shí)， ，所以

故數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，

所以

（Ⅲ）因?yàn)?/span>

所以

所以

所以

欲使，即對(duì)都成立

須有

而當(dāng)時(shí)， 隨的增大而增大

所以

又為正整數(shù)，所以的值為1,2,3

故使對(duì)都成立的正整數(shù)存在，其值為1,2,3.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)在直線上， 為橢圓上位于軸上方的一點(diǎn)且軸， 為橢圓上不同于的兩點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù),三個(gè)函數(shù)的定義域均為集合.

（1）若恒成立，滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合為，試判斷集合與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）記，是否存在，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出滿足條件的最小正整數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由.（以下數(shù)據(jù)供參考： ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】韓國(guó)民意調(diào)查機(jī)構(gòu)“蓋洛普韓國(guó)”2016年11月公布的民調(diào)結(jié)果顯示，受“閨蜜門”時(shí)間影響，韓國(guó)總統(tǒng)樸槿惠的民意支持率持續(xù)下跌，在所調(diào)查的1000個(gè)對(duì)象中，年齡在[20，30）的群體有200人，支持率為0%，年齡在[30，40）和[40，50）的群體中，支持率均為3%；年齡在[50，60）和[60，70）的群體中，支持率分別為6%和13%，若在調(diào)查的對(duì)象中，除[20，30）的群體外，其余各年齡層的人數(shù)分布情況如頻率分布直方圖所示，其中最后三組的頻數(shù)構(gòu)成公差為100的等差數(shù)列．

(1)依頻率分布直方圖求出圖中各年齡層的人數(shù)

（2）請(qǐng)依上述支持率完成下表：

年齡分布

是否支持

[30，40）和[40，50）

[50，60）和[60，70）

合計(jì)

支持

不支持

合計(jì)

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為年齡與支持率有關(guān)？

附表：

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.076

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中 參考數(shù)據(jù)：125×33=15×275，125×97=25×485）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：

非體育迷

體育迷

合計(jì)

男

女

10

55

合計(jì)

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．

（1）根據(jù)已知條件完成上面的2×2列聯(lián)表，若按95%的可靠性要求，并據(jù)此資料，你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？

（2）現(xiàn)在從該地區(qū)非體育迷的電視觀眾中，采用分層抽樣方法選取5名觀眾，求從這5名觀眾選取兩人進(jìn)行訪談，被抽取的2名觀眾中至少有一名女生的概率．

附：

P（K2≥k）

0.05

0.01

k

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在上不具有單調(diào)性.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若是的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，試證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等正數(shù)，不等式恒成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知等比數(shù)列中， ，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓與軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)，與軸正半軸相交于點(diǎn).

（1）若過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；

（2）若在以為圓心半徑為的圓上存在點(diǎn)，使得 (為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的取值范圍；

（3）設(shè)是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，如果直線與軸分別交于和，問(wèn)是否為定值？若是求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知某企業(yè)近3年的前7個(gè)月的月利潤(rùn)（單位：百萬(wàn)元）如下面的折線圖所示：

（1）試問(wèn)這3年的前7個(gè)月中哪個(gè)月的月平均利潤(rùn)最高？

（2）通過(guò)計(jì)算判斷這3年的前7個(gè)月的總利潤(rùn)的發(fā)展趨勢(shì)；

（3）試以第3年的前4個(gè)月的數(shù)據(jù)（如下表），用線性回歸的擬合模式估測(cè)第3年8月份的利潤(rùn)．

月份x

1

2

3

4

利潤(rùn)y（單位：百萬(wàn)元）

4

4

6

6

相關(guān)公式： ， ．

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