Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0a、b為常數(shù)）滿足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有兩相等實(shí)根
（1）求f（x）的解析式；
（2）在區(qū)間x∈[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）由條件f（1-x）=f（1+x）得到圖象對稱軸為x=1，由方程f（x）=x得到方程根的判別式△=0，得到兩個關(guān)于a、b的方程，解方程組得到本題結(jié)論；（2）將條件轉(zhuǎn)化不恒成立問題，根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴f（x）的對稱軸為x+1 即-

b

2a

=1．
即b=-2a．
∵f（x）=x有兩相等實(shí)根，
∴ax²+（b-1）x=0 的判別式（b-1）²-4a=0．
∴b=1，a=-

1

2

∴f（x）=-

1

2

x2+x．
（2）由已知：f（x）＞2x+m對x∈[-1，1]恒成立
∴m＜-

1

2

x2-x對于x∈[-1，1]恒成立
設(shè)g（x）=-

1

2

x2-x=-

1

2

(x+1)2+

1

2

，
該函數(shù)在x∈[-1，1]上遞減，
∴[g（x）]_min=g（1）=-

3

2

，x∈[-1，1]，
∴m＜-

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了恒成立問題，還考查了參變量分離的方法和函數(shù)方程思想，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．