Question

（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，四邊形ABDC內(nèi)接于圓，，過C點(diǎn)的圓的切線與AB的延長線交于E點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若，，，求AB的長.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查圓內(nèi)接四邊形中的邊角關(guān)系、切割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查考生的讀圖能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力. 第一問，由于CE是圓的切線，所以∠ECD＝∠CBD，而BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD，從而∠ECD＝∠BCD，所以可得到結(jié)論；第二問，因?yàn)锽D⊥AB，所以AC⊥CD，可得AC＝AB，所以得知AC＝EC，利用切割線定理得EC2＝AEBE，再轉(zhuǎn)化可解出AB的長.

試題解析：（Ⅰ）證明：因?yàn)锽D＝CD，所以∠BCD＝∠CBD．

因?yàn)镃E是圓的切線，所以∠ECD＝∠CBD．

所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD．

因?yàn)椤螮AC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD． 5分

（Ⅱ）【解析】
因?yàn)锽D⊥AB，所以AC⊥CD，AC＝AB．

因?yàn)锽C＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，所以AC＝EC．

由切割線定理得EC2＝AEBE，即AB2＝AE( AE－AB)，即

AB2＋2 AB－4＝0，解得． 10分

考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形中的邊角關(guān)系、切割線定理