精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

已知a∈R，函數f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax
(Ⅰ)若a=1,求曲線y=f(x)在點(2，f(2))處的切線方程;

(Ⅱ)若|a|＞1，求f(x)在閉區(qū)間[0，|2a|]上的最小值．

（Ⅰ）當a=1時，f′（x）=6x2-12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，    ∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=6x-8；

（Ⅱ）記g（a）為f（x）在閉區(qū)間[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）
令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a
當a＞1時，

x
0
（0，1）
1
（1，a）
a
（a，2a）
2a
f'(x)

+
0
-
0
+

f(x)
0
單調遞增
極大值3a-1
單調遞減
極小值a2(3-a)
單調遞增
4a3

比較f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=

當a＜-1時，

x
0
（0，1）
1
（1，-2a）
-2a
f'(x)

-
0
+

f(x)
0
單調遞減
極小值3a-1
單調遞增
-28a3-24a2

∴g(a)=3a-1

∴f(x)在閉區(qū)間[0,|2a|]上的最小值為g(a)=


（Ⅰ）求導函數，確定切線的斜率，求出切點的坐標，即可求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）分類討論，利用導數確定函數的單調性，從而可得極值，即可得到最值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a∈R，函數f(x)=
1
12
x3+
a+1
2
x2+(4a+1)x．
（Ⅰ）如果函數g（x）=f′（x）是偶函數，求f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）如果函數f（x）是（-∞，?+∞）上的單調函數，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a∈R，函數f（x）=ln（x+1）-x2+ax+2．
（1）若函數f（x）在[1，+∞）上為減函數，求實數a的取值范圍；
（2）令a=-1，b∈R，已知函數g（x）=b+2bx-x2．若對任意x1∈（-1，+∞），總存在x2∈[-1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求實數b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a∈R，函數f(x)=
a
x
+lnx-1，g(x)=(lnx-1)
e
x
 
+x（其中e為自然對數的底）．
（1）當a＞0時，求函數f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（2）是否存在實數x0∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x0處的切線與y軸垂直？若存在求出x0的值，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•太原一模）已知a∈R，函數 f（x）=x3+ax2+（a-3）x的導函數是偶函數，則曲線y=f（x）在原點處的切線方程為
3x+y=0
3x+y=0
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•浙江）已知a∈R，函數f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x∈[0，2]時，求|f（x）|的最大值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案