Question

5．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列各式錯誤的是（　�。�

• A． 若sinA+cosA＜1，則△ABC為鈍角三角形
• B． 若a²+b²＜c²，則△ABC為鈍角三角形
• C． 若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＜0，則△ABC為鈍角三角形
• D． 若A、B為銳角且cosA＞sinB，則△ABC為鈍角三角形

Answer 1

分析 對A，利用兩角和正弦公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性，判斷角A是否大于直角即可；
對B，利用余弦定理判斷角C是否為鈍角；
對C，利用向量數(shù)量積公式，判斷角B是否為鈍角；
對D，先化同名三角函數(shù)，再利用單調(diào)性分析判斷即可．

解答 解：A選項∵sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）＜1，∴sin（A+$\frac{π}{4}$）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∵$\frac{π}{4}$＜A+$\frac{π}{4}$＜π+$\frac{π}{4}$，∴A+$\frac{π}{4}$＞$\frac{3π}{4}$，∴A＞$\frac{π}{2}$，故A正確；
B選項，cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0，∴C＞$\frac{π}{2}$，故B正確；
C選項，∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{BC}$|cosB＞0，∴B＜$\frac{π}{2}$，故不能確定三角形為鈍角三角形，故C錯誤；
D選項，∵cosA=sin（$\frac{π}{2}$-A）＞sinB，又∵若A、B為銳角，∴$\frac{π}{2}$＞B⇒A+B＜$\frac{π}{2}$，∴C＞$\frac{π}{2}$，故D正確．
故選：C．

點評 本題借助考查命題的真假判斷，考查三角形形狀的判斷，以及向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題和易錯題．