Question

20．已知F₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1的兩個焦點，P是橢圓上任意一點
（1）∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，求△F₁PF₂的面積
（2）求|PF₁||PF₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合余弦定理和正弦定理求出△F₁PF₂的面積；
（2）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合基本不等式，求出|PF₁||PF₂|的最大值．

解答 解：（1）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
根據(jù)橢圓的定義得m+n=20；
在△F₁PF₂中，由余弦定理得即m²+n²-2mn•cos$\frac{π}{3}$=12²；
∴m²+n²-mn=144，即（m+n）²-3mn=144；
∴20²-3mn=144，即mn=$\frac{256}{3}$；
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$mn•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$；
（2）m+n=20≥2$\sqrt{mn}$，
∴mn≤（$\frac{m+n}{2}$）²=100，
當且僅當m=n=10時，等號成立；
∴|PF₁|PF₂|的最大值為100．

點評 本題考查了橢圓的定義與幾何性質(zhì)的應用問題，也考查了余弦定理的應用問題，是綜合性題目．