Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2，             

（1）求函數f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；

（2）存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實數a的取值范圍；

 

Answer 1

【答案】

解：（1）f'（x）=lnx+1，

當x∈(0，1e)，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，當x∈(1e，+∞)，f′(x)＞0，f(x)單調遞增

①0＜t＜t+2＜1e，沒有最小值；

②0＜t＜1e＜t+2，即0＜t＜1e時，f(x)min=f(1e)=-1e；

③1e≤t＜t+2，即t≥1e時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt；（5分）

所以f(x)min={-1e，0＜t＜1e.tlnt，t≥1e

（2）由已知，2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+3x，

設h(x)=2lnx+x+3x(x＞0)，則h′(x)=(x+3)(x-1)x2，

①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）單調遞減，

②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調遞增，

所以h（x）_min=h（1）=4，對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，

所以a≤h（x）_min=4；

【解析】略