Question

對于函數(shù)f（x），g（x）和區(qū)間D，如果存在x₀∈D，使得|f（x₀）-g（x₀）|≤1，則稱x₀是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間D上的“互相接近點”．現(xiàn)給出兩個函數(shù)：
①f（x）=x²，g（x）=2x-2； 
②f（x）=

x

，g（x）=x+2； 
③f（x）=lnx，g（x）=x；
④f（x）=e^-x+1，g（x）=-

1

x

．
則在區(qū)間（0，+∞）上存在唯一“相互接近點”的是（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、②④
• D、①③

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：由“互相接近點”的概念可知，只要是能找到一個x₀，使得|f（x₀）-g（x₀）|≤1即可，因此只需構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），利用單調(diào)性求其最大值或最小值和1比較，則問題即可解決．

解答： 解：對于①：由f（x）-g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，顯然，當x=1時，取得最小值1，符合題意，顯然只有x=1符合“相互接近點”定義，所以①符合題意；
對于②：由f（x）-g（x）=

x

-x-2=-(

x

-

1

2

)2-

9

4

≤-

9

4

，則當x＞0時，|f（x）-g（x）|≥

9

4

恒成立，故x＞0時不存在“相互接近點”，所以②不符合題意；
對于③：令h（x）=x-lnx，則h′（x）=1-

1

x

，令h′（x）＞0，則x＞1，令h′（x）＜0，得0＜x＜1，所以函數(shù)h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）遞增，所以x=1時，h（x）_min=h（1）=1，故當x＞0時，存在唯一的“相互接近點”，故③符合題意；
對于④：因為當x＞0時，e^-x＞0，則e^-x+1＞1，而此時-

1

x

＜0，故f（x）-g（x）＞1當x＞0時恒成立，故在（0，+∞）不存在“相互接近點”，所以④不符合題意．
故選D．

點評：本題考查了一個新定義問題，必須結(jié)合函數(shù)的最值去理解才好解決，能力要求較高．