【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+1,g(x)=2alnx+1(aR)

(1)求函數(shù)h(x)=f(x)g(x)的極值;

(2)當(dāng)a=e時(shí),是否存在實(shí)數(shù)k,m,使得不等式g(x)≤ kx+m ≤f(x)恒成立?若存在,請求實(shí)數(shù)k,m的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

(1)求導(dǎo),分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得極值;
(2)當(dāng)時(shí),由,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號,由 ,則 時(shí),有公切線,切線方程,即可求得實(shí)數(shù) 的值.

解:(1)h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣2alnx,x>0

所以 h′(x)=

當(dāng)a≤0,h′(x)>0,此時(shí)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值。-

當(dāng)a>0時(shí),由h′(x)>0,即x2﹣a>0,解得:a>x<﹣(舍去)

h′(x)<0,即x2﹣a<0,解得:0<x<-

h(x)在(0,)單調(diào)遞減,在(,+∞)單調(diào)遞增

h(x)的極小值為h()=a﹣2aln=a﹣alna,無極大值;

(2)當(dāng)a=e時(shí),由(1)知

h()=h()=e﹣elne=0

f(x)﹣g(x)≥0, 也即 f(x)≥g(x),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號;

為切點(diǎn),

f′()=g′(

所以y=f(x)與y=g(x)有公切線,切線方程y=2x+1﹣e

構(gòu)造函數(shù) ,顯然

構(gòu)造函數(shù)

解得 ,由 解得

所以上遞減,在上遞增-

,即有

從而 ,此時(shí)-

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為預(yù)防病毒爆發(fā),某生物技術(shù)公司研制出一種新流感疫苗,為測試該疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于%,則認(rèn)為測試沒有通過),公司選定個(gè)流感樣本分成三組,測試結(jié)果如下表:

疫苗有效

疫苗無效

已知在全體樣本中隨機(jī)抽取個(gè),抽到組疫苗有效的概率是

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取個(gè)測試結(jié)果,問應(yīng)在組抽取多少個(gè)?

(Ⅲ)已知,,求不能通過測試的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校為保證學(xué)生夜晚安全,實(shí)行教師值夜班制度,已知共5名教師每周一到周五都要值一次夜班,每周如此,且沒有兩人同時(shí)值夜班,周六和周日不值夜班,若昨天值夜班,從今天起至少連續(xù)4天不值夜班, 周四值夜班,則今天是周___________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若曲線與直線滿足:①在某點(diǎn)處相切;②曲線附近位于直線的異側(cè),則稱曲線與直線“切過”.下列曲線和直線中,“切過”的有________.(填寫相應(yīng)的編號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某高三理科班共有60名同學(xué)參加某次考試,從中隨機(jī)挑選出5名同學(xué),他們的數(shù)學(xué)成績與物理成績如下表:

數(shù)學(xué)成績

145

130

120

105

100

物理成績

110

90

102

78

70

數(shù)據(jù)表明之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系

(I)關(guān)于的線性回歸方程;

(II)該班一名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?10分,利用(I)中的回歸方程,估計(jì)該同學(xué)的物理成績;

(III)本次考試中,規(guī)定數(shù)學(xué)成績達(dá)到125分為優(yōu)秀,物理成績達(dá)到100分為優(yōu)秀. 若

該班數(shù)學(xué)優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為50%和60%,且除去抽走的5名同學(xué)外,剩下的同學(xué)中數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學(xué)共有5人,在答卷頁上填寫下面2×2列聯(lián)表,判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)?

物理優(yōu)秀

物理不優(yōu)秀

合計(jì)

數(shù)學(xué)優(yōu)秀

數(shù)學(xué)不優(yōu)秀

合計(jì)

60

參考數(shù)據(jù):回歸直線的系數(shù)

,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若關(guān)于的不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的值;

(2)設(shè),若不等式對任意實(shí)數(shù)都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè),解關(guān)于的不等式組

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù),已知曲線在原點(diǎn)處的切線相同.

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)時(shí)恒成立,的取值范圍

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在圓內(nèi)接四邊形中,,.

(1)求的大小;

(2)求面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中.

(1)若函數(shù)處取得極值,求實(shí)數(shù)的值;

(2)(1)的結(jié)論下,若關(guān)于的不等式,當(dāng)時(shí)恒成立,的值;

(3)令,若關(guān)于的方程內(nèi)至少有兩個(gè)解,求出實(shí)數(shù)的取值范圍。

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