Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）和g（x）滿足g（x）≠0，f'（x）•g（x）＞f（x）•g'（x），f（x）=a^x•g（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．令an=

f(n)

g(n)

，則使數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n超過100的最小自然數(shù)n的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：計算題

分析：分別令x等于1和x等于-1代入f（x）=a^x•g（x）得到兩個關(guān)系式，把兩個關(guān)系式代入

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

得到關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，注意f'（x）•g（x）＞f（x）•g'（x），可知

f(x)

g(x)

為增函數(shù)，判斷a＞1，將f（x）與g（x）代入a_n，求出a_n的前n項(xiàng)和S_n，令S_n＞100，求出n的最小值；

解答： 解：：令x=1，由f（x）=a^x•g（x）得到f（1）=a•g（1）；令x=-1，f（-1）=

g(-1)

a

，
分別代入

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，a+

1

a

=

5

2

，化簡得2a²-5a+2=0，即（2a-1）（a-2）=0，
解得a=2或a=-

1

2

；
∵f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x），可得

f(x)

g(x)

為增函數(shù)，

f(x)

g(x)

=a^x，a＞1，
∴a=2，
∴

f(n)

g(n)

=2ⁿ，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，
S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
∴2ⁿ⁺¹-2＞100，
解得n＞5，所以n的最下值為n=6，
故答案為6；

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用有理數(shù)指數(shù)冪公式化簡求值，以及等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，此題是一道中檔題；