Question

已知f（x）=x+asinx．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求g(x)=

f(x)

x

在[

π

6

，

5π

6

]上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
∴f'（x）=1+acosx≥0對(duì)x∈（-∞，+∞）恒成立．（2分）
令t=cosx，則1+at≥0對(duì)t∈[-1，1]恒成立，
∴

1+a•(-1)≥0 1+a•1≥0

，解得-1≤a≤1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．（6分）
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)=

f(x)

x

=1+

asinx

x

，∴g′(x)=

a(xcosx-sinx)

x2

，（8分）
記h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），則h'（x）=-xsinx＜0對(duì)x∈（0，π）恒成立，
∴h（x）在x∈（0，π）上是減函數(shù)，∴h（x）＜h（0）=0，即g'（x）＜0，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)=

f(x)

x

在（0，π）上是減函數(shù)，得g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上為減函數(shù)．（11分）
∴當(dāng)x=

π

6

時(shí)，g（x）取得最大值1+

3a

π

；當(dāng)x=

5π

6

時(shí)，g（x）取得最小值1+

3a

5π

．（13分）