設(shè)平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（
3
2
，
1
2
），函數(shù)f（x）=
a
•
b
+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)f（a）=
9
5
，且
π
6
＜a＜
2π
3
時(shí)，求sin（2a+
2π
3
）的值．
分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)f（x）的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的二倍角公式進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：依題意f（x）=
a
•
b
+1=（cosx，sinx）•（
3
2
，
1
2
）=
3
2
cosx+
1
2
sinx+1=sin（x+
π
3
）+1，
（Ⅰ）∵sin（x+
π
3
）∈[-1，1]，
∴sin（x+
π
3
）+1∈[0，2]，
即函數(shù)f（x）的值域是[0，2]．
令-
π
2
+2kπ≤x+
π
3
≤
π
2
+2kπ，
解得-
5π
6
+2kπ≤x≤
π
6
+2kπ，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-
5π
6
+2kπ，
π
6
+2kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（a）=
9
5
得sin（a+
π
3
）+1=
9
5
，得sin（a+
π
3
）=
4
5
，
∵
π
6
＜a＜
2π
3
，
∴
π
2
＜a+
π
3
＜π，
得cos（a+
π
3
）=-
3
5
，
∴sin（2a+
2π
3
）=sin2（a+
π
3
）=2sin（a+
π
3
）cos（a+
π
3
）=-2×
4
5
×
3
5
=-
24
25
．
點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握三角函數(shù)的公式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=(cosx+2
3
，sinx)，
c
=(sinα，cosα)，x∈R，
（Ⅰ）若
a
⊥
c
，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若x∈(0，
π
2
)，證明
a
和
b
不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函數(shù)f(x)=
a
•(
b
-2
c
)的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（cosx+2
3
，sinx），x∈R，
（1）若x∈（0，
π
2
），證明：
a
和
b
不可能平行；
（2）若
c
=（0，1），求函數(shù)f（x）=
a
•（
b
-2
c
）的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：鎮(zhèn)江一模 題型：解答題

設(shè)平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=(cosx+2
3
，sinx)，
c
=(sinα，cosα)，x∈R，
（Ⅰ）若
a
⊥
c
，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若x∈(0，
π
2
)，證明
a
和
b
不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函數(shù)f(x)=
a
•(
b
-2
c
)的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（cosx+2
3
，sinx），x∈R，
（1）若x∈（0，
π
2
），證明：
a
和
b
不可能平行；
（2）若
c
=（0，1），求函數(shù)f（x）=
a
•（
b
-2
c
）的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

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