Question

.已知拋物線y²=4x（x＞0），是否存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)（m，0）且與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線都有

FA

•

FB

＜0？若存在求出m的取值范圍，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先由于過(guò)點(diǎn)M（m，0）的直線與開(kāi)口向右的拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，則設(shè)該直線的方程為x=ty+m（包括無(wú)斜率的直線）；然后與拋物線方程聯(lián)立方程組，進(jìn)而通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程；再根據(jù)韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式，實(shí)現(xiàn)

FA

•

FB

＜0的等價(jià)轉(zhuǎn)化；最后通過(guò)m、t的不等式求出m的取值范圍．

解答： 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)l的方程為x=ty+m，由

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0，△=16（t²+m）＞0，
于是y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4m，①
又

FA

=（x₁-1，y₁），

FB

=（x₂-1，y₂），
∵

FA

•

FB

＜0?（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0②
又x=

1

4

y²，于是不等式②等價(jià)于

1

4

y₁²•

1

4

y₂²+y₁y₂-（

1

4

y₁²+

1

4

y₂²）+1＜0
由①式，不等式③等價(jià)于m²-6m+1＜4t²④
對(duì)任意實(shí)數(shù)t，4t²的最小值為0，所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m²-6m+1＜0，
解得3-2

2

＜m＜3+2

2

由此可知，存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有有

FA

•

FB

＜0，且m 的取值范圍是（3-2

2

，3+2

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系和向量數(shù)量積運(yùn)算等知識(shí)，同時(shí)考查了邏輯思維能力、計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中檔題．