Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，滿足S_n=2a_n+b_n（n∈N^*）．
（1）若b_n=n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)S_n=2a_n+n與S_n+1=2a_n+1+n+1作差、整理可知數(shù)列{a_n-1}是以-2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)S_n=2a_n+（-1）ⁿ與S_n-1=2a_n-1+（-1）^n-1（n≥2）作差、整理得a_n=2a_n-1+$\frac{4}{3}$（-1）ⁿ-$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ，變形為a_n+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ=2[a_n-1+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ]（n≥2），從而數(shù)列{a_n+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ}是以${a}_{1}-\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n+n，
∴S_n+1=2a_n+1+n+1，
兩式相減得：a_n+1=2a_n+1-2a_n+1，
整理得：a_n+1=2a_n-1，即a_n+1-1=2（a_n-1），
又∵a₁=2a₁+1，即a₁=-1，
∴a₁-1=-2，
∴數(shù)列{a_n-1}是以-2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-1=-2•2^n-1=-2^n-1，
∴a_n=1-2^n-1；
（2）∵S_n=2a_n+（-1）ⁿ，
∴S_n-1=2a_n-1+（-1）^n-1（n≥2），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1+2（-1）ⁿ，
∴a_n=2a_n-1-2（-1）ⁿ
=2a_n-1-$\frac{4}{3}$（-1）ⁿ-$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ
=2a_n-1+$\frac{4}{3}$（-1）ⁿ-$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ，
即：a_n+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ=2[a_n-1+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ]（n≥2），
∴數(shù)列{a_n+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ}是以${a}_{1}-\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ=$\frac{1}{3}$•2^n-1，
∴a_n=$\frac{1}{3}$•2^n-1-$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．