定義在R上的函數(shù)滿足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,f(
x
5
)=
1
2
f(x)
,且當(dāng)0≤x1<x2≤1時(shí),f(x1)≤f(x2),則f(
1
2010
)
=
 
分析:先由已知條件f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,f(
x
5
)=
1
2
f(x)
求出一些特值,f(1)=1,f(
1
2
) =
1
2
,可得f(
1
5
)=
1
2
,
再由當(dāng)0≤x1<x2≤1時(shí),f(x1)≤f(x2),結(jié)合f(
1
2
) =
1
2
=f(
1
5
)可以看出x∈[
1
5
,
1
2
]
時(shí),f(x)=
1
2

再利用條件f(
x
5
)=
1
2
f(x)
1
2010
逐步轉(zhuǎn)化到[
1
5
1
2
]
內(nèi),代入求解即可.
解答:解:由f(x)+f(1-x)=1可知f(x)的圖象關(guān)于(
1
2
,
1
2
)
對(duì)稱,
由f(0)=0得f(1)=1,f(
1
2
) =
1
2
,
f(
x
5
)=
1
2
f(x)
中令x=1可得f(
1
5
)=
1
2
,
又因?yàn)?≤x1<x2≤1時(shí),f(x1)≤f(x2),
所以x∈[
1
5
,
1
2
]
時(shí),f(x)=
1
2

f(
x
5
)=
1
2
f(x)
可得f(
1
2010
)=
1
2
f(
1
402
)=
1
4
f(
5
402
)=
1
8
f(
25
402
)
=
1
16
f(
125
402
)
,
因?yàn)?span id="b9nzjbx" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
125
402
∈[
1
5
,
1
2
],
所以f(
125
402
)=
1
2

所以f(
1
2010
)=
1
32

故答案為:
1
32
點(diǎn)評(píng):本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用問題及轉(zhuǎn)化思想,綜合性較強(qiáng),難度較大.
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f(x1)-f(x2)
x1-x2
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(2013•成都模擬)定義在R上的函數(shù)滿足以下三個(gè)條件:
①對(duì)任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x);
②對(duì)任意的x1,x2∈[0,2]且x1<x2,都有f(x1)<f(x2);
③函數(shù)f(x+2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,
則下列結(jié)論正確的是( 。

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定義在R上的函數(shù)滿足f(0)=0 ,f(x)+f(1-x)=1 , f(
x
5
)=
1
2
f(x)
,且當(dāng)0≤x1<x2≤1時(shí),f(x1)≤f(x2),則f(
1
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)
=
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32
1
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