Question

已知函數(shù)f（x）=lg（m^x-2^x）（0＜m＜1）．
（1）當(dāng)m=

1

2

時(shí)，求f（x）的定義域；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性并給出證明；
（3）若f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）須（

1

2

）^x-2^x＞0，即2^-x＞2^x，根據(jù)單調(diào)性求解即可
（2）利用函數(shù)單調(diào)性判斷即可
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性得出，f（x）在（-∞，-1]上的最小值為f（-1）=lg（m^-1-2^-1），所以要使f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，只需f（-1）=lg（m^-1-2^-1）＞0

解答： 解：（1）當(dāng)m=

1

2

時(shí)，要使f（x）有意義，須（

1

2

）^x-2^x＞0，即2^-x＞2^x，
可得：-x＞x，∴x＜0
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜0}．
（2）設(shè)x₂＜0，x₁＜0，且x₂＞x₁，則△=x₂-x₁＞0
令g（x）=m^x-2^x，
則g（x₂）-g（x₁）=m^x2-2^x2-m^x1+2^x1
=m^x2-m^x1+2^x1-2^x2
∵0＜m＜1，x₁＜x₂＜0，
∴m^x2-m^x1＜0，2^x1-2^x2＜0
g（x₂）-g（x₁）＜0，∴g（x₂）＜g（x₁）
∴l(xiāng)g[g（x₂）]＜lg[g（x₁）]，
∴△y=lg（g（x₂））-lg（g（x₁））＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．
（3）由（2）知：f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-1]上也為減函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-1]上的最小值為f（-1）=lg（m^-1-2^-1）
所以要使f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，
只需f（-1）=lg（m^-1-2^-1）＞0，
即m^-1-2^-1＞1，∴

1

m

＞1+

1

2

=

3

2

，
∵0＜m＜1，∴0＜m＜

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用轉(zhuǎn)化出不等式求解問題，屬于中檔題，但是難度不大．