Question

已知數(shù)列{a_n}滿足對任意的n∈N^*，都有a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²且a_n＞0．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設數(shù)列{

1

anan+2

}的前n項和為S_n，不等式S_n＞

1

6

（a²-5a+8）對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題設條件知a₁=1．當n=2時，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，由此可知a₂=2．
（2）由題意知，a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂++a_n）²，由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂++a_n）+a_n+1．同樣有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），由此得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．所以a_n+1-a_n=1．所以數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
（3）由（2）知a_n=n，

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，再用裂項求和法能夠推導出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足對任意的n∈N^*，
都有a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²且a_n＞0．
∴a13=a12，∵a₁＞0，解得a₁=1．
1+a₂³=（1+a₂）²，∵a₂＞0，解得a₂=2．
（2）∵a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
∴a₁³+a₂³+…+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+1）²，②
②-①，得：an+13=(a1+a2+…+an+1)2-（a₁+a₂+…+a_n）²，
∵a_n＞0，∴an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1，③
同理，an2=2(a1+a2+…+an-1)+an，n≥2，④
③-④，得an+12-an2=an+1+an，
∴a_n+1-a_n=1，
∵a₂-a₁=1，∴當n≥1時有a_n+1-a_n=1，
∴{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（3）

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Sn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，
∵S_n+1-S_n=

1

(n+1)(n+3)

＞0，
∴數(shù)列{S_n}單調遞增．
∴（S_n）_min=S₁=

1

3

．
∵S_n＞

1

6

（a²-5a+8）對任意的正整數(shù)n恒成立，
∴

1

6

（a²-5a+8）＜

1

3

恒成立，
解得2＜a＜3．
∴實數(shù)a的取值范圍（2，3）．

點評：本題主要考查數(shù)列通項、求和與不等式等知識，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識