Question

4．已知M，N為y軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P（異于原點(diǎn)O）為x軸上的一個(gè)定點(diǎn)，若以MN為直徑的圓與圓（x-3）²+y²=4相外切，且∠MPN的大小恒為定值，則線段OP的長為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為O₂（0，a），半徑為r，OP=t，由兩圓外切和∠MPN的大小恒為定值可得．

解答 解：設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為O₂（0，a），半徑為r，OP=t，
則tan∠OPM=$\frac{a-r}{t}$，tan∠OPN=$\frac{a+r}{t}$，
∴tan∠MPN=tan（∠OPN-∠OPM）
=$\frac{\frac{a+r}{t}-\frac{a-r}{t}}{1+\frac{a+r}{t}•\frac{a-r}{t}}$=$\frac{2rt}{{t}^{2}+{a}^{2}-{r}^{2}}$，
∵兩圓外切，∴$\sqrt{{a}^{2}+9}$=|r+2|，
∴a²=（r+2）²-9，
∴tan∠MPN=$\frac{2rt}{{t}^{2}+{a}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{2t}{\frac{{t}^{2}-5}{r}+4}$，
∵∠MPN的大小恒為定值，∴t=$\sqrt{5}$
故答案為：$\sqrt{5}$

點(diǎn)評 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，涉及兩角差的正切公式，屬中檔題．