Question

已知函數(shù)f（x）=x-xlx，g（x）=f（x）-xf′（a）．（其中f′（a）表示函數(shù)f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)，a為正常數(shù)）
（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對任意的正實(shí)數(shù)x₁x₂，且x₁＜x₂，證明：（x₂-x₁）f′（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f′（x₁）；
（Ⅲ）若對任意的n∈N^*，且n≥3時(shí)，有l(wèi)n2•lnn≤ln（2+k）•ln（n-k），其中k=1，2，…n-2．求證：

1

ln2

+

1

ln3

+L+

1

lnn

＜

1-f(n+1)

ln2•lnn

（n≥且n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f'（x）=-lnx，g（x）=x-xlnx+xlna，g'（x）=f'（x）-f'（a）=-lnx+lna=ln

a

x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）對任意的正實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，取a=x₁，則x₂∈（x₁，+∞），得f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f'（x₁）；取a=x₂，則x₁∈（0，x₂），得f（x₂）-f（x₁）＞（x₂-x₁）f'（x₂），由此能證明（x₂-x₁）f'（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f'（x₁）．
（Ⅲ）對k=1，2，…，n-2，令φ（x）=

ln(x+k)

lnx

（x＞1），則φ′（x）=

xlnx-(x+k)ln(x+k)

x(x+k)(lnx)2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明

1

ln2

+

1

ln3

+L+

1

lnn

＜

1-f(n+1)

ln2•lnn

（n≥且n∈N^*）．

解答： （Ⅰ）解：f'（x）=-lnx，g（x）=x-xlnx+xlna，
g'（x）=f'（x）-f'（a）=-lnx+lna=ln

a

x

．…（2分）
所以，x∈（0，a）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
x∈（a，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
所以，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a]，單調(diào)遞減區(qū)間為[a，+∞）．  …（4分）
（Ⅱ）證明：對任意的正實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
取a=x₁，則x₂∈（x₁，+∞），由（1）得g（x₁）＞g（x₂），
即g（x₁）=f（x₁）-x₁f'（x₁）＞f（x₂）-x₂f'（x₁）=g（x₂），
所以，f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f'（x₁）…①．…（6分）
取a=x₂，則x₁∈（0，x₂），
由（Ⅰ）得g（x₁）＜g（x₂），
即g（x₁）=f（x₁）-x₁f'（x₂）＜f（x₂）-x₂f'（x₂）=g（x₂），
所以，f（x₂）-f（x₁）＞（x₂-x₁）f'（x₂）…②．
綜合①②，得（x₂-x₁）f'（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f'（x₁）． …（8分）
（Ⅲ）證明：對k=1，2，…，n-2，
令φ（x）=

ln(x+k)

lnx

（x＞1），
則φ′（x）=

xlnx-(x+k)ln(x+k)

x(x+k)(lnx)2

，
顯然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），
所以xlnx＜（x+k）ln（x+k），
所以φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
由n-k≥2，得φ（n-k）≤φ（2），
即

lnn

ln(n-k)

≤

ln(2+k)

ln2

．
所以ln2lnn≤ln（2+k）ln（n-k），k=1，2，…，n-2．…（10分）
所以2（

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

）=

lnn+ln2

ln2lnn

+

ln(n-1)+ln3

ln3ln(n-1)

+…+

ln2+lnn

lnnln2

≤

lnn+ln2

ln2lnn

+

ln(n-1)+ln3

ln2ln(n-1)

+…+

ln2+lnn

lnnln2

=2

ln2+ln3+…+lnn

ln2lnn

，…（12分）
又由（Ⅱ）知f（n+1）-f（n）＜f′（n）=-lnn，
所以lnn＜f（n）-f（n+1）．
∴l(xiāng)n1+ln2+…+lnn
＜f（1）-f（2）+f（2）-f（3）+…+f（n）-f（n+1）
=f（1）-f（n+1）=1-f（n+1）．
所以

1

ln2

+

1

ln3

+L+

1

lnn

＜

1-f(n+1)

ln2•lnn

（n≥且n∈N^*）．…（14分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．