Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時，f（x）=sinx-cosx，求：
（1）f（x）在R上的解析式．
（2）當(dāng)x＞0時，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，即可求f（x）在R上的解析式．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可解不等式f（x）＞0．

解答：解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
當(dāng)x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時，f（x）=sinx-cosx，
∴f（-x）=-sinx-cosx，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-sinx-cosx=-f（x），
即f（x）=sinx+cosx，x＜0．
故函數(shù)的解析式為：f(x)=

sinx-cosx，x＞0 0，x=0 sinx+cosx，x＜0

，
（2）當(dāng)x＞0時，不等式f（x）＞0，等價為f（x）=sinx-cosx＞0，
即sinx＞cosx，
由三角函數(shù)圖象可知2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，k≥0且k∈Z．
即不等式的解集為(2kπ+

π

4

，2kπ+

5

4

π)，k≥0且k∈Z．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用以及不等式的解法，考查學(xué)生的運算能力．