Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）和g（x）滿足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）f（x）=a^x•g（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．令an=

f(n)

g(n)

，則使數(shù)列{a_n}的前n項和S_n不超過

15

16

的最大自然數(shù)n的值為

4

．

Answer 1

分析：分別令x等于1和x等于-1代入①得到兩個關(guān)系式，把兩個關(guān)系式代入②得到關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根據(jù)f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）可知函數(shù)

f(x)

g(x)

=ax是減函數(shù)，對求得的a進行取舍，求出數(shù)列{a_n}的通項公式，進而求得其前n項和S_n，解不等式S_n≤

15

16

即可求得結(jié)果．

解答：解：解：令x=1，由①得到f（1）=a•g（1）；令x=-1，f（-1）=

g(-1)

a

，
分別代入②得：a+

1

a

=

5

2

，化簡得2a²-5a+2=0，
即（2a-1）（a-2）=0，
解得a=2或a=

1

2

．
∵f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），
∴(

f(x)

g(x)

)′＜0，
∴

f(x)

g(x)

=ax是減函數(shù)，故a=

1

2

，
∴an=

f(n)

g(n)

=

1

2n

，
∴S_n=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-

1

2n

，
由1-

1

2n

≤

15

16

，得n≤4，
∴最大自然數(shù)n的值為 4
故答案為：4

點評：此題考查學生會利用有理數(shù)指數(shù)冪公式化簡求值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，等比數(shù)列求和等知識，綜合性強，根據(jù)已知求出

f(x)

g(x)

=ax的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查運算能力和應用知識分析解決問題的能力，屬中檔題．