Question

已知函數(shù)f（x）=

2x

x-1

，x∈（1，+∞）
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調性，并用定義證明．
（2）當x∈[2，4]時，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）函數(shù)f（x）x∈（1，+∞）是單調遞減函數(shù)，利用定義法進行證明．
（2）由已知m＜

2x

x-1

-2x=

-2x2+4x

x-1

恒成立，設h（x）=

-2x2+4x

x-1

，則m＜[h（x）]_min，由此利用導數(shù)性質能求出結果．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）x∈（1，+∞）是單調遞減函數(shù)．
證明如下：任取1＜x₁＜x₂，
∵f（x）=

2x

x-1

，
∴f（x₁）-f（x₂）=

2x1

x1-1

-

2x2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數(shù)f（x）x∈（1，+∞）是單調遞減函數(shù)．
（2）∵當x∈[2，4]時，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，
∴m＜

2x

x-1

-2x=

-2x2+4x

x-1

恒成立，
設h（x）=

-2x2+4x

x-1

，則m＜[h（x）]_min，
∴h′（x）=

-2x2+8x-8

(x-1)2

=

-2(x-2)2

(x-1)2

，
∵x∈[2，4]，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在[2，4]上是減函數(shù)，
∴h（x）的值域為[h（4），h（2）]，即[-

16

3

，0]，
∴m＜-

16

3

．

點評：本題考查函數(shù)的單調性的判斷與證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．