Question

定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），對(duì)任意m、n∈[-1，1]，且m+n≠0時(shí)，恒有

f(m)+f(n)

m+n

＞0；
（1）比較f（

1

2

）與f（

1

3

）大小；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若a-8x+1＞0對(duì)滿足不等式f（x-

1

2

）+f（

1

4

-2x）＜0對(duì)任意x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用作差法，即可比較f（

1

2

）與f（

1

3

）大��；
（2）利用單調(diào)性定義證明步驟可得結(jié)論；
（3）先確定x的范圍，再分離參數(shù)求最值，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵

1

2

+(-

1

3

)≠0，∴

f( 1 2 )+f(- 1 3 )

1 2 +(- 1 3 )

＞0，
∴f(

1

2

)+f(-

1

3

)＞0⇒f(

1

2

)＞-f(-

1

3

)，
∵f(-

1

3

)=-f(

1

3

)，∴f(

1

2

)＞f(

1

3

)．…（3分）
（2）函數(shù)f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)；…（4分）
證明如下：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則f(x2)-f(x1)=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

(x2-x1)=

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

(x2-x1)=A，…（6分）
∵x2+(-x1)≠0，且x2、(-x1)∈[-1，1]，  ∴

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，又∵x2-x1＞0，
∴A＞0，∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)．…（8分）
（3）∵不等式f（x-

1

2

）+f（

1

4

-2x）＜0的任意x恒成立，
∴-1≤x-

1

2

＜2x-

1

4

≤1，
∴

5

8

≥x＞-

1

4

∴a-8x+1＞0對(duì)滿足不等式f(x-

1

2

)+f(

1

4

-2x)＜0的任意x恒成立?a＞8x-1對(duì)-

1

4

＜x≤

5

8

恒成立?a＞(8x-1)max=4?a＞4，…（13分）
∴a的取值范圍為（4，+∞）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．