【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線與曲線相切于點(diǎn),與直線相交于點(diǎn).
證明:以為直徑的圓恒過(guò)軸上某定點(diǎn).
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,然后直接利用拋物線的定義求得拋物線方程;(2)設(shè)出直線的方程為: (),聯(lián)立直線方程和拋物線方程化為關(guān)于的一元二次方程后由判別式等于得到與的關(guān)系,求出的坐標(biāo),求出切點(diǎn)坐標(biāo),再設(shè)出的坐標(biāo),然后由向量的數(shù)量積為0證得答案,并求得的坐標(biāo).
試題解析:(1)解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為,
由拋物線定義知,動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是以為焦點(diǎn), 為準(zhǔn)線的拋物線,
所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程為.
(2)證明:由,消去得: .
因?yàn)橹本l與拋物線相切,所以,即.
所以直線l的方程為.
令,得.所以Q.
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),則,
解得: , 設(shè),
所以當(dāng),即,所以
所以以PQ為直徑的圓恒過(guò)軸上定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,在處的切線方程為.
(1)求, ;
(2)若,證明: .
【答案】(1), ;(2)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到關(guān)于 的方程組,解出即可;
(2)由(1)可知, ,
由,可得,令, 利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得
,
從而證明.
試題解析:((1)由題意,所以,
又,所以,
若,則,與矛盾,故, .
(2)由(1)可知, ,
由,可得,
令,
,
令
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減,且;
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增;且,
所以在上當(dāng)單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,
故,
故.
【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法,以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,若直線與曲線相切;
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上取兩點(diǎn), 與原點(diǎn)構(gòu)成,且滿足,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】濟(jì)南新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換先行區(qū),承載著濟(jì)南從“大明湖時(shí)代”邁向“黃河時(shí)代”的夢(mèng)想,肩負(fù)著山東省新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換先行先試的重任,是全國(guó)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換的先行區(qū).先行區(qū)將以“結(jié)構(gòu)優(yōu)化質(zhì)量提升”為目標(biāo),通過(guò)開(kāi)放平臺(tái)匯聚創(chuàng)新要素,堅(jiān)持綠色循環(huán)保障持續(xù)發(fā)展,建設(shè)現(xiàn)代綠色智慧新城.2019年某智能機(jī)器人制造企業(yè)有意落戶先行區(qū),對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行了可行性分析,如果全年固定成本共需2000(萬(wàn)元),每年生產(chǎn)機(jī)器人(百個(gè)),需另投人成本(萬(wàn)元),且,由市場(chǎng)調(diào)研知,每個(gè)機(jī)器人售價(jià)6萬(wàn)元,且全年生產(chǎn)的機(jī)器人當(dāng)年能全部銷售完.
(1)求年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(百個(gè))的函數(shù)關(guān)系式;(利潤(rùn)=銷售額-成本)
(2)該企業(yè)決定:當(dāng)企業(yè)年最大利潤(rùn)超過(guò)2000(萬(wàn)元)時(shí),才選擇落戶新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換先行區(qū).請(qǐng)問(wèn)該企業(yè)能否落戶先行區(qū),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東的方向即沿直線CB前往B處救援,則等于 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(1)若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素,求的值;
(2)設(shè),若對(duì)任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),函數(shù),函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面六個(gè)句子中,錯(cuò)誤的題號(hào)是________.
①周期函數(shù)必有最小正周期;
②若則,至少有一個(gè)為;
③為第三象限角,則;
④若向量與的夾角為銳角,則;
⑤存在,,使成立;
⑥在中,O為內(nèi)一點(diǎn),且,則O為的重心.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是
A. 棱柱的側(cè)面都是平行四邊形
B. 所有面都是三角形的多面體一定是三棱錐
C. 用一個(gè)平面去截正方體,截面圖形可能是五邊形
D. 將直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐
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