Question

下列命題中，假命題的是（　　）

• A、?x₀∈R，sinx₀+

  3

  cosx₀=2
• B、?x∈[0，+∞），e^x-x＞0
• C、?x₀∈（0，+∞），lgx₀=-1
• D、?x∈（-∞，0]，2x²-3x-2＞0

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：A．由sinx₀+

3

cosx₀=2化為sin(x0+

π

6

)=1，可得x0=2kπ+

π

3

（k∈Z）；
B．令f（x）=e^x-x，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）當(dāng)x≥0時(shí)的單調(diào)性即可；
C．由lg

1

10

=-1，即可判斷出；
D．由2x²-3x-2=2(x-

3

4

)2-

25

8

，知函數(shù)f（x）=2x²-3x-2在（-∞，0]上單調(diào)遞減，因此f（x）≥f（0）=-2．

解答： 解：A．由sinx₀+

3

cosx₀=2化為sin(x0+

π

6

)=1，∴x0=2kπ+

π

3

（k∈Z），因此正確；
B．令f（x）=e^x-x，則f′（x）=e^x-1，當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）≥f（0）=1＞0，因此正確；
C．∵lg

1

10

=-1，∴C正確；
D．∵2x²-3x-2=2(x-

3

4

)2-

25

8

，∴函數(shù)f（x）=2x²-3x-2在（-∞，0]上單調(diào)遞減，∴f（x）≥f（0）=-2．因此不正確．
綜上可得：只有D不正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．