Question

已知f（x）=ln（x+1），g（x）=

1

2

ax²+bx．
（1）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）若a=0，b=1時，求證f（x）-g（x）≤0對于x∈（-1，+∞）成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，問題等價于h′（x）=

1

x

-ax-2＜0在（0，+∞）有解，分離參數(shù)求出函數(shù)的最小值即可；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，求出h（x）的表達(dá)式，求出導(dǎo)數(shù)，求得h（x）的最大值即可得證．

解答： （1）解：∵函數(shù)h（x）=lnx-

1

2

ax²-2x的定義域?yàn)椋?，+∞），
且函數(shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，
∴h′（x）=

1

x

-ax-2＜0在（0，+∞）有解，
即-ax²-2x+1＜0在（0，+∞）有解，
故a＞

1

x2

-

2

x

=（

1

x

-1）²-1在（0，+∞）有解，
∴a＞-1，
故a的范圍為（-1，+∞）．
（2）證明：若a=0，b=1時，令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，
則h′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
當(dāng)x＞0時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)-1＜x＜0時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
則x=0為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)，
故最大值為h（0）=0，
故h（x）≤h（0）．
即有f（x）-g（x）≤0對于x∈（-1，+∞）成立．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值、最值，注意存在與恒成立的區(qū)別，屬于中檔題．