Question

已知：3Sinβ=Sin（2α+β），則tanβ的最大值是

2

4

．

Answer 1

分析：先利用變換角的方法，將已知等式轉(zhuǎn)化為3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，再利用三角變換公式將等式化簡得tan（α+β）=2tanα，最后利用兩角差的正切公式將tanβ表示為tanα的函數(shù)，利用均值定理球最值即可

解答：解：由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
⇒3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
⇒sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα
若cos（α+β）=0，則易得tanβ=0
若cos（α+β）≠0，則在等式兩邊同除以cos（α+β），即

sin(α+β)cosα

cos(α+β)

=

2cos(α+β)sinα

cos(α+β)

∴tan（α+β）=2tanα  （tanα≠0）
因為tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

tanα

1+2tan2α

=

1

1 tanα +2tan α

顯然當tanα＞0時，tanβ取得最大值，∴tanβ=

1

1 tanα +2tan α

≤

1

2 1 tanα ×2tanα

=

1

2 2

=

2

4

當且僅當tanα=

2

2

時取等號
綜上所述，tanβ的最大值是

2

4

故答案為

2

4

點評：本題主要考查了三角化簡和求值中變換角的方法和技巧，三角變換公式在化簡和求值中的應用，均值定理求最值的方法，特別注意最值取得時等號成立的條件，屬中檔題