Question

已知△ABC的內(nèi)角A，C滿足

sinC

sinA

=cos（A+C），則tanC的最大值為（　�。�

• A、

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  3

• D、

  2

  4

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：由已知可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB，從而化簡得tanB=-2tanA，由tanC=-tan（A+B）=

1

1 tanA +2tanA

，根據(jù)不等式

1

tanA

+2tanA≥2

2

，即可解得
tanC的最大值．

解答： 解：由

sinC

sinA

=cos（A+C）=-cosB，
所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB，
所以：cosAsinB=-2sinAcosB，
所以：tanB=-2tanA，
因?yàn)椋簍anC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

tanA

1+2tan2A

=

1

1 tanA +2tanA

，
因?yàn)?span id="yskaoeq" class="MathJye">

1

tanA

+2tanA≥2

2

，
所以tanC≤

2

4

．
所以最大值是

2

4

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式、正弦函數(shù)公式、正切函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．