Question

已知圓（x-3）²+（y+4）²=4和直線y=kx相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|•|OQ|的值為（　　）

• A．

  21

  1+k2

• B．1+k²
• C．4
• D．21

Answer 1

分析：設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），將直線方程與圓的方程聯(lián)解消去y，整理得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出x₁x₂用k表示的式子，進(jìn)而得到y(tǒng)₁y₂用k表示的式子，再利用向量數(shù)量積公式加以計(jì)算，可得答案．

解答：解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

(x-3)2+(y+4)2=4 y=kx

消去y，整理得（k²+1）x²+（8k-6）x+21=0，
∴x₁+x₂=

-8k+6

k2+1

，x₁x₂=

21

k2+1

．
由此可得y₁y₂=kx₁•kx₂=k²x₁x₂，
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂=（1+k²）•

21

k2+1

=21．
∵

OP

與

OQ

共線同向，∴|OP|•|OQ|=

OP

•

OQ

=21．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及其性質(zhì)，屬于中檔題．同時(shí)考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和整體運(yùn)算思想，在直線和圓的交點(diǎn)問題常采用設(shè)而不求的方法，使問題迎刃而解．