用邊長60cm的正方形硬紙片ABCD，切去如圖所示的陰影部分，即四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使A，B，C，D四點重合于右圖中點P，正好做成一個正四棱柱狀的包裝盒．被切去的一等腰直角三角形斜邊兩端點E，F(xiàn)在AB上．設AE=FB=x（cm）．

（1）用x表示包裝盒的高h；
（2）求出包裝盒的容積V關于x的函數(shù)表達式，并指出x的范圍；
（3）x為何值時，盒子容積最大？求出此時盒子的底邊與高長之比．
考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)解析式的求解及常用方法
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）由已知得（60-2x）2=2h2，由此能用x表示包裝盒的高h．
（2）利用正四棱柱體積公式能求出包裝盒的容積V關于x的函數(shù)表達式及x的范圍．
（3）由V′=6
2
x(20-x)，利用導數(shù)性質能求出x為何值時，盒子容積最大，并能求出此時盒子的底邊與高長之比．
解答： 解：（1）由已知得（60-2x）2=2h2，
整理，得：h=
2
(30-x)(cm)．（3分）
（2）V=(
2
x)2•
2
(30-x)=-2
2
x3+60
2
x2，x∈（0，30）（9分）
（3）V′=6
2
x(20-x)，（11分）
當0＜x＜20，V′＞0，V為增函數(shù)；
當20＜x＜30，V′＜0，V為減函數(shù)．
所以當x=20（cm）時，V有極大值，
即容積有最大值．（13分）
此時盒子的底邊與高長之比為：
20
2
：10
2
=2：1．（14分）
點評：本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1-nan（n∈N*）．
（1）計算a1，a2，a3，a4；猜想an的表達式．
（2）用數(shù)學歸納法證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}中，公差到d＞0，其前n項和為Sn，且滿足a2•a3=45，a1+a4=14．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）通過{bn}=
Sn
n+c
構造一個新的數(shù)列{bn}，是否存在一個非零常數(shù)c，使{bn}也為等差數(shù)列；
（3）求f（n）=
bn
(n+2005)•bn+1
（n∈N*）的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

為了研究失重狀態(tài)下男女航天員暈飛船的情況，抽取了105名被試者，得到下面2×2列聯(lián)表部分數(shù)據(jù)．
（1）完成該列聯(lián)表
暈船不暈船合計
男性30
女性1055
合計75
（2）根據(jù)獨立性假設檢驗的方法，有百分之幾的把握認為“在失重狀態(tài)下男性比女性更容易暈飛船？”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且f（x•y）=f（x）+f（y）對于任何實數(shù)x，y都成立，
（1）求f（0）的值；
（2）證明：f（
x
y
）=f（x）-f（y）；
（3）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

建造一個容積為50cm3，高為2cm長方體的無蓋鐵盒，問這個鐵盒底面的長和寬各為多少時材料最��？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點Q的球坐標為（2，
3π
4
，
3π
4
），則它的直角坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在極坐標系中，曲線ρ=4cos（θ-
π
3
）與直線ρsin（θ+
π
6
）=1的兩個交點之間的距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列
1
1×4
，
1
4×7
，
1
7×10
，…的前10項和S10=
 
．

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