Question

20．為了解今年某校高三畢業(yè)班想?yún)④姷膶W(xué)生體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖）．已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1：2：3，其中第2小組的頻數(shù)為24．
（Ⅰ）求該校高三畢業(yè)班想?yún)④姷膶W(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省高三畢業(yè)班想?yún)④姷耐瑢W(xué)中（人數(shù)很多）任選三人，設(shè)X表示體重超過60公斤的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）由頻率分布直方圖先求出前3個小組的頻率，從而得到第2小組的頻率，由此能求出高三畢業(yè)班想?yún)④姷膶W(xué)生人數(shù)．
（II）根據(jù)X服從二項分布，$P（X=k）=C_2^k{（\frac{5}{8}）^k}{（\frac{3}{8}）^{3-k}}$，K=0，1，2，3求解分布列，數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知：
前3個小組的頻率為：1-（0.013+0.037）×5=0.75，
所以第1小組的頻率為$\frac{1}{6}$×0.75=0.125，
第2小組的頻率為$\frac{2}{6}$×0.75=0.25，
第3小組的頻率為$\frac{3}{6}$×0.75=0.5，
所以該校高三畢業(yè)班想?yún)④姷膶W(xué)生人數(shù)是24÷0.25=96．
（Ⅱ）分布列見解析，$\frac{15}{8}$．
（Ⅱ）由（1）可得，一個想?yún)④姷膶W(xué)生體重超過60公斤的概率為$p={p_3}+（0.037+0.013）×5=\frac{5}{8}$．

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{512}$	$\frac{45}{512}$	$\frac{75}{512}$	$\frac{125}{512}$

所以X服從二項分布，$P（X=k）=C_2^k{（\frac{5}{8}）^k}{（\frac{3}{8}）^{3-k}}$，K=0，1，2，3
∴隨機變量X的分布列為 $E（X）=3×\frac{5}{8}=\frac{15}{8}$．

點評 本題考查該校高三畢業(yè)班想?yún)④姷膶W(xué)生人數(shù)的求法，解題時要注意頻率分布直方圖的合理運用，難度不大，屬于中檔題．