Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且經(jīng)過點（0，1），四邊形MNPQ的四個頂點都在橢圓C上，對角線MP所在直線的斜率為-1，且MN=MQ，PN=PQ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求四邊形MNPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且經(jīng)過點（0，1），列出方程組求解a，b即可．
（Ⅱ）設(shè)MP，NQ所在直線方程分別為y=-x+m，y=x+n，N（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），NQ中點P（x₀，y₀）．利用直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用判別式以及韋達定理，通過兩點間距離公式，求出四邊形面積表達式，利用0≤n²＜4，所以0≤m²＜1．求解四邊形MNPQ面積的最大值．

解答 （本題滿分8分）
解：（Ⅰ）根據(jù)題意得，$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ b=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}.\end{array}\right.$解得$a=\sqrt{3}$．
所求橢圓方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．…（3分）
（Ⅱ）因為MN=MQ，PN=PQ，所以對角線MP垂直平分線段NQ．
設(shè)MP，NQ所在直線方程分別為y=-x+m，y=x+n，N（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），NQ中點P（x₀，y₀）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=3\\ y=x+n\end{array}\right.$得4x²+6nx+3n²-3=0．
令△=48-12n²＞0，得n²＜4.${x_1}+{x_2}=-\frac{3n}{2}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{n^2}-3}}{4}$．
則$|NQ|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{6（4-{n^2}）}}}{2}$．
同理$|MP|=\frac{{\sqrt{6（4-{m^2}）}}}{2}$．
所以${S_{四邊形MNPQ}}=\frac{1}{2}|MP||NQ|=\frac{{3\sqrt{（4-{m^2}）（4-{n^2}）}}}{4}$．
又因為${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3}{4}n$，所以NQ中點$P（-\frac{3}{4}n，\frac{1}{4}n）$．
由點A在直線MP上，得n=-2m，
所以${S_{四邊形MNPQ}}=\frac{1}{2}|MP||NQ|=\frac{{3\sqrt{（4-{m^2}）（1-{m^2}）}}}{2}$．
因為0≤n²＜4，所以0≤m²＜1．
所以當m=0時，四邊形MNPQ面積的最大值為3．…（8分）

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．