Question

已知點(diǎn)A（-

3

，0），B（

3

，0），動(dòng)點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2，點(diǎn)C的軌跡與直線 y=x-2交于D、E兩點(diǎn)，求線段DE的中點(diǎn)坐標(biāo)及其弦長(zhǎng)DE．

Answer 1

分析：利用雙曲線的定義可得點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線，由2a=2，2c=2

3

，求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；把直線 y=x-2代入雙曲線方程化簡(jiǎn)可得x₁+x₂=-4，x₁•x₂=6，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得DE．

解答：解：∵|CB|-|CA|=2＜2

3

=|AB|，∴點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線，2a=2，2c=2

3

，
∴a=1，c=

3

，∴b=

2

，∴點(diǎn)C的軌跡方程為 x2-

y2

2

=1．
把直線 y=x-2代入 x2-

y2

2

=1化簡(jiǎn)可得 x²+4x-6=0，△=16-4（-6）=40＞0，
設(shè)D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁ ）、（x₂，y₂），∴x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-6．
∴線段DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2，4），DE=

1+1

•|x₁-x₂|=

2

•

(x1 +x2)2-4x1 •x2

 
=

2

16-4(-6)

=4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，利用弦長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．