Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx，x∈[$\root{3}{e}$，e³]，函數(shù)g（x）=[f（x）]²-2a•f（x）+3的最小值為h（a）．
（1）求h（a）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n，同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①m＞n＞3；②當(dāng)h（a）的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇n²，m²]？若存在，求出m，n；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求h（a）的表達(dá)式．    
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，結(jié)合定義域和值域之間的關(guān)系進(jìn)行討論即可．

解答 解：（1）∵x∈[$\root{3}{e}$，e³]，
∴l(xiāng)nx∈[$\frac{1}{3}$，3]，
設(shè)lnx=t，t∈[$\frac{1}{3}$，3]，
則F（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a² ．
①當(dāng)a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，h（a）=$F（t）_{min}=F（\frac{1}{3}）$=$\frac{28-6a}{9}$；
②當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a≤3，h（a）=F（t）_min=F（a）=3-a²；
③當(dāng)a＞3，h（a）=F（t）_min=F（3）=12-6a．
則h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28-6a}{9}，a＜\frac{1}{3}}\\{3-{a}^{2}，\frac{1}{3}≤a≤3}\\{12-6a，a＞3}\end{array}\right.$；
（2）∵m＞n＞3，
∴h（a）=12-6a在（3，∞）上為減函數(shù)，
又∵h(yuǎn)（a）的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇n²，m²]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{12-6m={n}^{2}}\\{12-6n={m}^{2}}\end{array}\right.$，兩式相減得6（m-n）=（m-n）（m+n），
∵m＞n＞3，
∴m+n=6，這與m＞n＞3矛盾．
故滿足條件的m，n不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，主要考查函數(shù)解析式的求解，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．