Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，M，N是對角線AC₁上的兩點，動點P在正方體表面上且滿足|PM|=|PN|，則動點P的軌跡長度的最大值為

1. A.
   3
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   6

Answer 1

B
分析：根據(jù)滿足PM=PN這個條件可以看出點P是在垂直于AC₁且過線段MN中點的一個平面a上的，而題目中又說P在正方體表面上，所以P點的軌跡便是平面a與正方體各表面的交線所組成的一個由折線段構(gòu)成的軌跡．假象有一個平面從A點開始切割（該平面垂直AC₁），開始得到的圖形是三角形，且三角形的周長慢慢變長，直到切割到A₁點，利用運動變化的思想研究整個過程可得出動點P的軌跡長度的最大值．
解答：解：滿足PM=PN這個條件可以看出點P是在垂直于AC₁且過線段MN中點的一個平面a上的，又說P在正方體表面上，
∴P點的軌跡便是平面a與正方體各表面的交線所組成的一個由折線段構(gòu)成的軌跡．
也就是垂直于正方體體對角線的平面與正方體表面相交的交線構(gòu)成的哪個圖形的周長最大．
假象有一個平面從A點開始切割（該平面垂直AC₁），開始得到的圖形是三角形，且三角形的周長慢慢變長，直到切割到A₁點，
這個切割圖形為三角形A₁BD，此時是當(dāng)切割圖形是三角形時的周長最大值，為3．
之后的切割圖形變?yōu)榱�邊形，�?jīng)計算得出當(dāng)切割圖形為六邊形時圖形的周長恒定還是為3，
之后切割圖形又為三角形，周長開始從3遞減趨向于零，
直至切割到C₁點切割結(jié)束．
根據(jù)整個過程來說可以得出P點的最大長度為3．
故選B．
點評：本題考查立體幾何中的軌跡問題，考查學(xué)生的分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是確定滿足|PM|=|PN|的點P所構(gòu)成的軌跡．