【題目】邊長為1的正三角形，、分別是邊、上的點(diǎn)，若，，其中，設(shè)的中點(diǎn)為，中點(diǎn)為.

（1）若、、三點(diǎn)共線，求證：；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）證明見解析；（2）最小值為.

【解析】

(1)利用共線向量基本定理得,根據(jù)三角形的中線對應(yīng)的向量等于相鄰兩邊對應(yīng)的向量的和的一半,將已知條件代入得到要證的結(jié)論;

(2)利用向量的運(yùn)算法則:三角形減法法則的逆運(yùn)算將用三角形的邊對應(yīng)的向量表示,利用向量模的平方等于向量的平方,將表示為的二次函數(shù),求出二次函數(shù)的最小值.

(1)由三點(diǎn)共線,得共線,

根據(jù)共線向量定理可得,存在使得,

即,

所以,

根據(jù)平面向量基本定理可得,

所以.

(2)因?yàn)?/span>,

又,所以,

因?yàn)槿切?/span>是邊長為1的正三角形,所以,,

所以

,

所以時,取得最小值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖所示為一正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有下列四個命題：

①AF⊥GC；

②BD與GC成異面直線且夾角為60；

③BD∥MN；

④BG與平面ABCD所成的角為45.

其中正確的個數(shù)是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力和煤、電耗如下表：

產(chǎn)品品種

勞動力

煤噸

電千瓦

A產(chǎn)品

3

9

4

B產(chǎn)品

10

4

5

已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元，現(xiàn)在條件有限，該企業(yè)僅有勞動力300個，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，試問：該企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各多少噸，才能獲得最大利潤？并求出最大利潤．

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值之和為6，求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上恒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在問題（2）中，令，比較與0的大小關(guān)系，并說明理由.

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【題目】已知函數(shù)與，若對任意的，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.

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【題目】中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，請問此人第5天走的路程為（ ）

A. 36里 B. 24里 C. 18里 D. 12里

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【題目】信息科技的進(jìn)步和互聯(lián)網(wǎng)商業(yè)模式的興起，全方位地改變了大家金融消費(fèi)的習(xí)慣和金融交易模式，現(xiàn)在銀行的大部分業(yè)務(wù)都可以通過智能終端設(shè)備完成，多家銀行職員人數(shù)在悄然減少.某銀行現(xiàn)有職員320人，平均每人每年可創(chuàng)利20萬元.據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利0.2萬元，但銀行需付下崗職員每人每年6萬元的生活費(fèi)，并且該銀行正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為使裁員后獲得的經(jīng)濟(jì)效益最大，該銀行應(yīng)裁員多少人？此時銀行所獲得的最大經(jīng)濟(jì)效益是多少萬元？

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【題目】已知函數(shù)()，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

(1)求實(shí)數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

(2)試比較與的大小，并說明理由；

(3)求證：

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【題目】已知橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為和，離心率是，直線過點(diǎn)交橢圓于， 兩點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時， 的周長為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)直線繞點(diǎn)運(yùn)動時，試求的取值范圍.

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