【題目】如圖所示,游樂場中摩天輪勻速逆時針旋轉(zhuǎn),每轉(zhuǎn)一圈需要6min,其中心距離地面40.5m,摩天輪的半徑為40m,已知摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處,在時刻t(min)時點(diǎn)P距離地面的高度為f(t)=Asin(wt+φ)+h(A>0,w>0,﹣π<φ<0,t≥0).
(1)求f(t)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:f(t)+f(t+2)+f(t+4)是定值.

【答案】
(1)解:由題意可得A=40, =6,∴ω= ,φ=﹣ ,h=40.5,

故f(t)=40sin( t﹣ )+40.5=40.5﹣40cos t,

令2kπ≤ t≤2kπ+π,求得6k≤t≤6k+3,可得函數(shù)的增區(qū)間為[6k,6k+3],k∈Z;

令2kπ+π≤ t≤2kπ+2π,求得6k+3≤t≤6k+6,可得函數(shù)的減區(qū)間為[6k+3,6k+6],k∈Z


(2)解:證明:∵f(t)=40.5﹣40cos t,

∴f(t)+f(t+2)+f(t+4)=121.5﹣40[cos t+cos( t+ )+cos( t+ )].

又 cos t+cos( t+ )﹣cos( t+ )=cos t﹣cos( t﹣ )﹣cos( t+

=cos t﹣cos t﹣ sin t+ sin t=0,

∴f(t)+f(t+2)+f(t+4)=121.5﹣40×0=121.5,顯然為定值,

故要證得結(jié)論成立


【解析】(1)利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),求得f(t)的解析式,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得f(t)的單調(diào)區(qū)間.(2)利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的三角公式化簡 f(t)+f(t+2)+f(t+4),可得結(jié)論.

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