Question

設(shè)T_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之積，滿足T_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）設(shè)，證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求b_n和a_n；
（2）設(shè)S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²求證：a_n+1-＜S_n≤a_n-．

Answer 1

解：（1）∵T_n=1-a_n（n∈N^*）．，∴，∴
∵，∴b_n-b_n-1=1，∵T_n=1-a_n，∴，∴，∴數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴b_n=n+1，∴，∴
（2）S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²=
∴
當(dāng)n≥2時(shí)，=
當(dāng)n=1時(shí)，
∴S_n≤a_n-，∴a_n+1-＜S_n≤a_n-．
分析：（1）首先利用數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積T_n與通項(xiàng)之間的關(guān)系分類討論寫(xiě)出相鄰項(xiàng)滿足的關(guān)系式，然后兩式作商，再利用，利用作差法即可獲得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．由此可以求的數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得Tn然后求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²=，再進(jìn)行放縮可證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了構(gòu)造思想、放縮法解決不等式的證問(wèn)題．