Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為-1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，且直線x-3y+4=0與向量的平行．
（I）求橢圓的離心率；
（II）設M為橢圓上任意一點，點N（λ，μ），且滿足，求N的軌跡方程．

Answer 1

解：（I）設橢圓方程為（a＞b＞0），F(xiàn)（c，0）
則直線AB的方程為y=-x+c，代入，
化簡得（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=，x₁x₂=．
∵+=（x₁+x2，y₁+y₂），且直線x-3y+4=0的方向向量=（3，1），+與共線，
∴3（y₁+y₂）-（x₁+x₂）=0，又y₁=-x₁+c，y₂=-x₂+c，
∴3（-x₁-x₂+2c）-（x₁+x₂）=0，
∴x₁+x₂=c．
即=c，
所以a²=3b²．
∴c=，
故離心率e==．
（II）由（I）知a²=3b²，
所以橢圓可化為x²+3y²=3b²，F(xiàn)（c，0），
設M（x，y），
由已知，
∴
∵M（x，y）在橢圓上，即（λ-μ）²（x₁²+3y₁²）+2（λ²-μ²）（x₁x₂+3y₁y₂）+（λ+μ）²（x₂²+3y₂²）=3b²．①
由（I）知a²=c²，b²=c²．
∴x₁+x₂=，x₁x₂==c²
∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（-x₁+c）（-x₂+c）=4x₁x₂-3（x₁+x₂）c+3c²=c²-c²+3c²=0．
又x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²，
代入①得λ²+μ²=．
故N的軌跡方程為λ²+μ²=．
分析：（Ⅰ）直線與橢圓方程聯(lián)立用未達定理的A、B兩點坐標的關系，據向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關系，從而求得橢圓的離心率；
（Ⅱ）用向量運算將λ，μ用坐標表示，再用坐標的關系求出λ²+μ²的值，即得N的軌跡方程．
點評：考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立用韋達定理．是高考常見題型且是解答題．