Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；
（3）如果對(duì)任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，最后用直線的斜截式表示即可；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等價(jià)于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，先求導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值點(diǎn)，通過比較與端點(diǎn)的大小從而確定出最大值和最小值，從而求出[g（x₁）-g（x₂）]_max，求出M的范圍；
（3）問題等價(jià)于當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）≥g（x）_max，可轉(zhuǎn)化為a≥x-x²lnx恒成立，令h（x）=x-x²lnx，利用導(dǎo)數(shù)研究h（x）的最大值即可求出參數(shù)a的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

2

x

+xlnx，f′（x）=-

2

x2

+lnx+1，f（1）=2，f′（1）=-1，
所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y-2=-（x-1），即y=-x+3；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，等價(jià)于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，
考察g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

），
當(dāng)0≤x＜

2

3

時(shí)，g′（x）≤0，g（x）遞減；當(dāng)

2

3

＜x≤2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
所以g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1，[g（x₁）-g（x₂）]_max=g（x）_max-g（x）_min=

112

27

，
所以M≤

112

27

，所以滿足條件的最大整數(shù)M=4；
（3）當(dāng)對(duì)任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）≥g（t）成立，
等價(jià)于對(duì)任意x∈[1，2]時(shí)，f（x）≥g（x）_max，即

a

x

+xlnx≥1，
所以a≥x-x²lnx，
令h（x）=x-x²lnx，則h′（x）=1-2xlnx-x，h′（1）=0，
令m（x）=1-2xlnx-x，m′（x）=-3-2lnx＜0，
所以m（x）在[1，2]上遞減，m（x）≤m（1）=0，即h′（x）≤0，
所以h（x）在[1，2]上遞減，故h（x）≤h（1）=1，
所以a≥1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查了劃歸與轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．