Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且在x=1處取得極小值-2．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）已知函數(shù)g（x）=|x|-2，判斷關(guān)于x的方程f（g（x））-k=0解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=ax³+bx²+cx+d是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)知b=d=0，再求導(dǎo)f′（x）=3ax²+c；從而可得f（1）=a+c=-2，f′（1）=3a+c=0；從而解得；
（2）由（1）知f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增；且f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2；從而分類討論以確定方程解的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，
∴b=d=0，
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c；
∴f（1）=a+c=-2，f′（1）=3a+c=0；
解得，a=1，c=-3；
故f（x）=x³-3x；
（2）∵f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
又∵g（x）=|x|-2≥-2，
∴f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
且f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2；
故當(dāng)k＜-2時(shí)，方程f（g（x））-k=0無解；
當(dāng)k=-2時(shí)，方程f（g（x））-k=0可化為
g（x）=-2或g（x）=1；
故x=0或x=3或x=-3；
共3個(gè)解；
當(dāng)-2＜k＜2時(shí)，
-2＜g（x）＜-1或-1＜g（x）＜1或g（x）＞1；
故g（x）共有6個(gè)解；
當(dāng)k=2時(shí)，
g（x）=-1或g（x）=2，
解得，x=-1，或x=1或x=4或x=-4；
故有4個(gè)解；
當(dāng)k＞2時(shí)，g（x）＞2；
故有2個(gè)解；
綜上所述，
當(dāng)k＞2時(shí)，方程f（g（x））-k=0有2個(gè)解；
當(dāng)k=2時(shí)，方程f（g（x））-k=0有4個(gè)解；
當(dāng)-2＜k＜2時(shí)，方程f（g（x））-k=0有6個(gè)解；
當(dāng)k=-2時(shí)，方程f（g（x））-k=0有3個(gè)解；
當(dāng)k＜-2時(shí)，方程f（g（x））-k=0無解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，屬于難題．