Question

1．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²（4cos²θ+9sin²θ）=36．
（1）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-3），設(shè)曲線C₁和C₂相交于點(diǎn)M，N，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （1）把曲線C₁的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為普通方程；
（2）曲線C₁過(guò)點(diǎn)P，傾斜角為$\frac{π}{4}$，寫(xiě)出它的參數(shù)方程，代入C₂中，利用|PM|•|PN|=|t₁•t₂|，即可求出值．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t，化為普通方程是x-y=1，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²（4cos²θ+9sin²θ）=36，
化為普通方程是4x²+9y²=36，
即$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-3），∴曲線C₁過(guò)點(diǎn)P，
且傾斜角為$\frac{π}{4}$，
∴它的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
代入C₂：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1中，
化簡(jiǎn)得：13t²-70$\sqrt{2}$t+122=0，
∴t₁•t₂=$\frac{122}{13}$，
即|PM|•|PN|=|t₁|•|t₂|=t₁t₂=$\frac{122}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線與橢圓方程的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．