Question

已知 cos(x-

π

4

)=

2

10

，x∈(

π

2

，π)．
（I）求sinx的值；
（Ⅱ）求sin(2x+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（I）先由已知條件，利用余弦的差角公式展開，得到sinx，cosx的方程，再與sin²x+cos²x=1聯(lián)立求得sinx值；
（Ⅱ）利用第一問的結論結合正弦的和角展開式以及特殊角的函數值即可得到結論．

解答：解：（I）∵cos(x-

π

4

)=

2

10

，x∈(

π

2

，π)．
∴

2

2

（sinx+cosx）=

2

10

；
⇒sinx+conx=

1

5

⇒cosx=

1

5

-sinx；
代入sin²x+cos²x=1解得sinx=

4

5

，cosx=-

3

5

．
（Ⅱ）∵sinx=

4

5

，cosx=-

3

5

．
∴sin2x=2sinxcosx=-

12

25

；
cos2x=2cos²x-1=-

7

25

．
∴sin(2x+

π

3

)=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

=-

12

25

×

1

2

+（-

7

25

）×

3

2

(    )

(    )

=-

12+7 3

50

．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數及同角三角函數的基本關系，解題的關鍵是熟練掌握公式且能靈活運用，本題是基本公式考查題，屬于基礎題．