Question

下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ ）
A．
B．y=2^x
C．y=
D．y=-x³

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)奇函數(shù)在x=0處函數(shù)值為0，得A項(xiàng)不是奇函數(shù)，不符合題意；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得y=2^x是R上的增函數(shù)，不符合題意；根據(jù)函數(shù)y=x是R上的增函數(shù)，得C項(xiàng)不符合題意；由此可得只有D項(xiàng)符合題意，再利用單調(diào)性和奇偶性的定義加以證明即可．
解答：解：對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)x=0時(shí)，y=sin（-）≠0
所以不是奇函數(shù)，故A項(xiàng)不符合題意；
對(duì)于B，因?yàn)?＞1，所以指數(shù)函數(shù)y=2^x是R上的增函數(shù)，
不滿足在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，故B項(xiàng)不符合題意；
對(duì)于C，顯然函數(shù)y=x是R上的增函數(shù)，故C項(xiàng)也不符合題意；
對(duì)于D，設(shè)f（x）=-x³，可得
f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），因此函數(shù)y=-x³是奇函數(shù)，
又因?yàn)閒′（x）=-2x²≤0恒成立，可得y=-x³是其定義域內(nèi)的減函數(shù)
∴函數(shù)y=-x³是其定義域內(nèi)的奇函數(shù)且是減函數(shù)，故D項(xiàng)符合題意
故選：D
點(diǎn)評(píng)：本題給出定義在R上的幾個(gè)函數(shù)，要我們找出其中的奇函數(shù)且是減函數(shù)的函數(shù)，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性及其判斷方法的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．