Question

f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，f（xy）=f（x）+f（y）
（1）證明：f（

x

y

）=f（x）-f（y）
（2）已知f（3）=1且f（a）＞f（a-1）+2，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件f（xy）=f（x）+f（y），即可得證；
（2）由于f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求出f（9）=2，將f（a）＞f（a-1）+2，轉(zhuǎn)化為f（a）＞f（9a-9），
運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性即可求出a的范圍，注意定義域的運(yùn)用．

解答： （1）證明：∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xy）-f（x）=f（y），即f（y）=f（xy）-f（x）對(duì)x，y＞0成立．
將y換成

m

n

，x換為n，則xy換為m，得到f（

m

n

）=f（m）-f（n），
∴f（

x

y

）=f（x）-f（y）成立．
（2）解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，
∴f（9）=2f（3）=2．
∵f（a）＞f（a-1）+2，
∴f（a）＞f（a-1）+f（9），即f（a）＞f（9a-9），
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴

a＞0 a-1＞0 a＞9a-9

∴1＜a＜

9

8

．
∴a的范圍是（1，

9

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，及解決抽象函數(shù)的方法：賦值法，屬于中檔題．