Question

已知拋物線C：y=x2+4x+

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，過(guò)C上一點(diǎn)M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點(diǎn)M的法線．
（Ⅰ）若C在點(diǎn)M的法線的斜率為-

1

2

，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（x₀，y_0^）；
（Ⅱ）設(shè)P（-2，a）為C對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)的法線通過(guò)點(diǎn)P？若有，求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線方程；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由切線和法線垂直，則其斜率之積等于-1，可得M處的切線的斜率k=2，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合已知即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)M（x₀，y_0^）為C上一點(diǎn)，分x₀=-2和x₀≠-2兩種情況討論，結(jié)合題意和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得到等量關(guān)系（x₀+2）²=a，然后再分a＞0，a=0，a＜0三種情況分析，即可求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，M處的切線的斜率k=

-1

- 1 2

=2，
∵y′=2x+4，
∴2x₀+4=2，解得x₀=-1，
將x₀=-1代入y=x2+4x+

7

2

中，解得y₀=

1

2

，
∴M（-1，

1

2

）；
（Ⅱ）設(shè) M（x₀，y_0^）為C上一點(diǎn)，
①若x₀=-2，則C上點(diǎn)M（-2，-

1

2

）處的切線斜率 k=0，過(guò)點(diǎn)M（-2，-

1

2

） 的法線方程為x=-2，此法線過(guò)點(diǎn)P（-2，a）；
②若 x₀≠-2，則過(guò)點(diǎn) M（x₀，y_0^）的法線方程為：y-y₀=-

1

2x0+4

（x-x₀） ①
若法線過(guò)P（-2，a），則 a-y₀=-

1

2x0+4

（-2-x₀），即（x₀+2）²=a  ②
若a＞0，則x₀=-2±

a

，從而y₀=

2a-1

2

，將上式代入①，
化簡(jiǎn)得：x+2

a

y+2-2a

a

=0或x-2

a

y+2+2a

a

=0，
若a=0與x₀≠-2矛盾，若a＜0，則②式無(wú)解．
綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，在C上有三個(gè)點(diǎn)（-2+

a

，

2a-1

2

），（-2-

a

，

2a-1

2

）及
（-2，-

1

2

），在這三點(diǎn)的法線過(guò)點(diǎn)P（-2，a），其方程分別為：
x+2

a

y+2-2a

a

=0，x-2

a

y+2+2a

a

=0，x=-2．
當(dāng)a≤0時(shí)，在C上有一個(gè)點(diǎn)（-2，-

1

2

），在這點(diǎn)的法線過(guò)點(diǎn)P（-2，a），其方程為：x=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)曲線的切線和法線問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和幾何意義，同時(shí)綜合運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．