Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=

a+2

2x+1

（x∈R）．
（1）判斷f（x）在R上的單調(diào)性用定義證明；
（2）在a=1的條件下，解不等式f（2t+1）≤f（t-5）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義的步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論進(jìn)行證明，需要對(duì)a分類(lèi)討論判斷出符號(hào)；
（2）由（1）得到函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性的定義將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式，再求出解集．

解答： 解：（1）當(dāng)a＜-2時(shí)，a+2＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上是增函數(shù)，
當(dāng)a＞-2時(shí)，a+2＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在R上是減函數(shù)，
當(dāng)a=-2時(shí)，a+2=0，即f（x₁）-f（x₂）=0，則f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上沒(méi)有單調(diào)性；
證明如下：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

a+2

2x1+1

-

a+2

2x2+1

=（a+2）

2x2+1-(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=（a+2）

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因?yàn)閤₁＜x₂，所以2x2＞2x1＞0，則

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
當(dāng)a＜-2時(shí)，a+2＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上是增函數(shù)，
當(dāng)a＞-2時(shí)，a+2＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在R上是減函數(shù)，
當(dāng)a=-2時(shí)，a+2=0，即f（x₁）-f（x₂）=0，則f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上沒(méi)有單調(diào)性；
（2）由（1）得，當(dāng)a=1時(shí)f（x）在R上是減函數(shù)，
所以不等式f（2t+1）≤f（t-5）等價(jià)于2t+1≥t-5，解得t≥-6，
所以不等式的解集是[-6，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的定義，以及利用單調(diào)性的定義的步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論證明，考查分類(lèi)討論思想．